elipce: mayo 2014

lunes, 5 de mayo de 2014

Elipse en (h,k)

Elementos de la elipse (no origen), dada su ecuación ordinaria

*Ecuación elipse dado sus focos y vértices (centro fuera del origen)

*Elementos de la parábola con vértice fuera del origen, dada su ecuación

parte 1

parte 2

Detalles importantes en una elipse

Las características o partes principales de una elipse son

* Vértices: Son los puntos extremos más alejados del centro.

* Eje mayor: Es la distancia de un vértice hasta el otro y equivale a

2a.

* Eje menor: Es la distancia de extremo a extremo medida por su parte más angosta y

equivale a

2b.

Distancia focal: Es la distancia que hay de un foco al otro foco y equivale a

2c.

* La posición del centro, cuyas coordenadas son . Para evitar confusiones con la ( ) h, k

distancia del centro al foco a la que se le nombró con la letra

minúscula, al centro de la

elipse se le asigna la letra

(mayúscula).

* Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el foco.

Hay dos posibilidades de obtener una elipse: horizontal o vertical.

Elementos de la elipse:

1Focos: Son los puntos fijos F y F'.

2Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6Distancia focal: Es el segmento

de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

7Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

8Eje mayor: Es el segmento

de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

9Eje menor:Es el segmento

de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

11Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Vídeos para explicar mejor como se realizan problemas de elipse

Estos son unos videos para explicar como se pueden resolver distintos tipos de problemas de elipse

*Aquí podemos ver como se obtiene los os elementos de un problema de elipse con centro en el origen

*Como convertir una ecuación ordinaria de un elipse a ecuación general

*Demostración de la ecuación de la elipse con centro en el origen (horizontal)

*Demostración de la ecuación de la elipse con centro en el origen (vertical)

parte 1

parte 2

Ecuaciones Que Se Emplean En Un Problema De Elipse

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas

x² + xy + y² = 1

Forma cartesiana centrada en el origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse

es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(epc 1) $r(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\cfrac{\cos^2\theta }{a^2}+\cfrac{\sin^2\theta}{b^2 } }}$

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad

\scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}

), es:

(epc 2) $r (\theta )=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon ^2 \cos ^2(\theta )}}$

Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) εes la excentricidad.

Si no se quiere pre-calcular la excentricidad

\scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}

convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).

Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.

En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es:

(501) $r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}$

Para el foco F1:

(502) $r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon\cos\theta}$

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.

En el caso un poco más general de una elipse con el foco F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular

\varphi

, la forma polar es:

(503) $r(\theta)=\frac{a (1-\varepsilon^{2})}{1 - \varepsilon \cos(\theta - \varphi)}$ }

El ángulo

\theta

de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas

a (1-\varepsilon^{2})

es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado

l

. El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en

(h,k)

y siendo

a

el semieje mayor y

b

el menor, es:

$\begin{cases} x = h+a\cos\alpha\\ y = k+b\sin\alpha \end{cases}$

con

\alpha\in [0,2\pi)\ .\ \alpha

no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino laanomalía excéntrica de la elipse. La relación entre

\alpha

y θ es

{\rm{tg}} \theta = {b \over a}\ {\rm{tg}} \alpha

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en

(h,k)

en la que el parámetro

\theta

sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado

(h,k)

es:

$\begin{cases} x = h+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \cos\theta\\ y = k+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \sin\theta\end{cases}$

con

\theta\in [0,2\pi)

. El parámetro

\theta

es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en

(h,k)

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

$\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b$

Siendo a y b los semiejes.⁴

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.

Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:

P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Elementos Gráficos De Una Elipse

Elementos gráficos de la elipse

Nomenclatura

La descripción corresponde a las imágenes de la derecha.

Los diámetros principales o ejes principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse, perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son nombrados A-B el mayor y B-C el menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas, como A-A' el mayor y B-B' el menor.

El centro de la elipse se suele nombrar O (origen). En la circunferencia los focos coinciden con el centro.

Los focos se suelen nombrar con la letra F acompañada de algún medio de diferenciarlos, F₁ - F₂, o F' - F" .

El diámetro mayor de la elipse se suele designar 2a, siendo a el semieje mayor. El semieje menor se denomina b y eldiámetro menor 2b. La distancia de cada foco al centro se denomina c.

Los segmentos que van de cada foco a un punto de la elipse se denominan radios vectores; la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2a.

En la imagen de la derecha vemos algunas otras líneas y puntos importantes de la elipse.

La circunferencia principal (c. p., en verde) tiene como centro el de la elipse, y como radio a. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los pies de las tangentes a la elipse(como se ve en el ejemplo).

Las circunferencias focales (c. f., en verde también) son las que tienen como centro cada foco y como radio 2a. Las circunferencias focales y la principal cumplen una homotecia de razón = 2 y centro en cada foco (el de la circunferencia focal contraria).

La recta t en color cian es una tangente por un punto cualquiera. Al punto de tangencia se lo suele nombrar T, T₁, T₂, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que pasan por los focos, aquí en rojo, se suelen prolongar hasta la circunferencia focal del foco opuesto. No coinciden con la normal a la tangente salvo en los extremos de los ejes principales.

Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes son los pies de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra el corte de la normal con la circunferencia focal del foco opuesto.

Diámetros conjugados

Se denominan diámetros conjugados a cada par de diámetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo el dibujo de la derecha).

Otra definición es que son conjugados los diámetros cuyos afines en una circunferencia afín a la elipse son perpendiculares (dibujo de la izquierda).

Los diámetros principales serían también diámetros conjugados. Existen varios métodos para hallar los diámetros principales a partir de los conjugados.

Rectas directrices

La definición de las rectas directrices está en una sección anterior (véase), y también la definición de la elipse a partir de ellas. Es una expresión de la excentricidad de la elipse. El modo de hallarlas gráficamente se muestra en la siguiente imagen.

Trazamos una perpendicular al diámetro mayor por un foco hasta la circunferencia principal, dibujamos por el punto de corte una tangente a dicha circunferencia; en el lugar donde esa tangente encuentra la prolongación del diámetro mayor está la directriz, que es perpendicular al diámetro mayor.

viernes, 2 de mayo de 2014

Elementos de la Elipce

Elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro,F₁ y F₂ en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F₁)+d(P,F₂)=2a).

Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.

Si F₁ y F₂ son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F₁F₂, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

$P F_1 + P F_2 = 2a \,$

donde $a \,$ es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse[editar]

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

$\varepsilon=\frac{c}{a}$ , con $(0\le\varepsilon\le1)$

Dado que $c = \sqrt{a^2-b^2}$ , también vale la relación:

$\varepsilon=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}} =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}$

o el sistema:

$\begin{cases} \varepsilon=\frac{c}{a}\\ c = \sqrt{a^2-b^2} \end{cases}$

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.³ La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).

Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular $\alpha$ es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad $\varepsilon$ , esto es:

$\alpha=\sin^{-1}(\varepsilon)=\cos^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)=2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right);\,\!$

Constante de la elipse

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F₁ y F₂ a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF₁ (color azul) y PF₂ (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF₁ + PF₂ = 2a

En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

$\varepsilon=\frac{\overline{\text{PF}}}{\overline{\text{PD}}}$

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad $\varepsilon$ de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.