lunes, 5 de mayo de 2014

Ecuaciones Que Se Emplean En Un Problema De Elipse

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas


x2 + xy + y2 = 1

Forma cartesiana centrada en el origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse
es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
(epc 1) r(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\cfrac{\cos^2\theta }{a^2}+\cfrac{\sin^2\theta}{b^2 } }}
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} ), es:
(epc 2)r (\theta )=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon ^2 \cos ^2(\theta )}}
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) εes la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).

Formas polares centradas en un foco


Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es:
(501)r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}
Para el foco F1:
(502)r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon\cos\theta}

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.
En el caso un poco más general de una elipse con el foco F2 en el origen y el otro foco en la coordenada angular \varphi, la forma polar es:
(503)r(\theta)=\frac{a (1-\varepsilon^{2})}{1 - \varepsilon \cos(\theta - \varphi)}}
El ángulo \theta de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas a (1-\varepsilon^{2}) es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es:
\begin{cases} x = h+a\cos\alpha\\ y = k+b\sin\alpha \end{cases}
con \alpha\in [0,2\pi)\ .\ \alpha no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino laanomalía excéntrica de la elipse. La relación entre \alpha y θ es
{\rm{tg}} \theta = {b \over a}\ {\rm{tg}} \alpha.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) en la que el parámetro \theta sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado (h,k) es:
\begin{cases} x = h+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \cos\theta\\ y = k+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \sin\theta\end{cases}
con \theta\in [0,2\pi). El parámetro \theta es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en (h,k).

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:
\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b
Siendo a y b los semiejes.4

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:
P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,
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